Regla de Cramer

 Regla de Cramer

En la clase pasada recordamos como se realiza el método de eliminación de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones, en este método se busca igualar a cero los tres números de la esquina inferior izquierda de la matriz para de este modo poder conocer el valor de las incógnitas.

También aprendimos como realiza la regla de Cramer que también sirve para resolver sistemas de ecuaciones, en este método se busca primero el determinante para después dividir el resultado de la multiplicación y obtener el valor de las incógnitas.

INVESTIGACION:

 La Regla de Cramer es un método del álgebra lineal utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales, siempre que cumplan dos condiciones:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. Es decir, el sistema debe ser "cuadrado".

1. El determinante de la matriz de coeficientes del sistema es distinto de cero. Si el determinante es cero, la Regla de Cramer no se puede aplicar directamente y el sistema podría ser incompatible （sin solución） o compatible indeterminado （infinitas soluciones）.

¿Cómo funciona la Regla de Cramer?

Para un sistema de ecuaciones lineales, la Regla de Cramer permite encontrar el valor de cada incógnita (x, y, z, etc.) mediante un cociente de determinantes:

$x_k=\frac{det(A_k)}{det(A)}$

Donde:

• xk​ es la incógnita que queremos calcular.

• det（A） es el determinante de la matriz de coeficientes del sistema （la matriz formada por los números que acompañan a las incógnitas）. Este determinante debe ser diferente de cero.

• det（Ak）es el determinante de una matriz que se obtiene de la matriz de coeficientes A al reemplazar la columna de los coeficientes de la incógnita xk​ por la columna de los términos independientes （los números que están al otro lado del signo igual en las ecuaciones）.

Pasos generales para aplicar la Regla de Cramer:

1. Verificar las condiciones: Asegúrate de que el número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas y que el determinante de la matriz de coeficientes sea diferente de cero.

2. Calcular el determinante del sistema ($det(A)$): Forma la matriz de coeficientes y calcula su determinante.

3. Calcular los determinantes para cada incógnita ($det(A_k)$): Para cada incógnita, crea una nueva matriz reemplazando la columna de sus coeficientes por la columna de los términos independientes, y luego calcula el determinante de esta nueva matriz.

4. Calcular los valores de las incógnitas: Divide cada det（Ak）entre det（A).

Ejemplo:

Sistema de ecuaciones:

1. $2x+3y=7$

2. $5x-2y=8$

Paso 1: Identificar la matriz de coeficientes ($A$) y el vector de términos independientes ($B$).

La matriz de coeficientes A se forma con los números que acompañan a x e y: $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& -2\end{array}\right)$

El vector de términos independientes B es: $B=\left(\begin{array}{c}7\\ 8\end{array}\right)$

Paso 2: Calcular el determinante de la matriz de coeficientes ($det(A)$).

Para una matriz 2x2 (ac​bd​), el determinante es $ad-bc$.

$det(A)=(2)(-2)-(3)(5)$ $det(A)=-4-15$ $det(A)=-19$

Como $det(A)=-19\ne 0$, podemos aplicar la Regla de Cramer.

Paso 3: Calcular el determinante para $x$ ($det(A_x)$).

Para Ax​, reemplazamos la primera columna (coeficientes de x) de la matriz A por la columna de los términos independientes B.

$A_x=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 8& -2\end{array}\right)$

$det(A_x)=(7)(-2)-(3)(8)$ $det(A_x)=-14-24$ $det(A_x)=-38$

Paso 4: Calcular el determinante para $y$ ($det(A_y)$).

Para Ay​, reemplazamos la segunda columna (coeficientes de y) de la matriz A por la columna de los términos independientes B.

$A_y=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 5& 8\end{array}\right)$

$det(A_y)=(2)(8)-(7)(5)$ $det(A_y)=16-35$ $det(A_y)=-19$

Paso 5: Calcular los valores de $x$ e $y$.

$x=\frac{det(A_x)}{det(A)}$ $x=\frac{-38}{-19}$ $x=2$

$y=\frac{det(A_y)}{det(A)}$ $y=\frac{-19}{-19}$ $y=1$

Solución:

La solución del sistema es $x=2$ e $y=1$.

Video:

Ref.

https://blogs.ua.es/matesfacil/bachillerato/algebra-matricial/regla-de-cramer/

https://www.matesfacil.com/BAC/ejercicios-resueltos-CRAMER.html

https://repositorio-uapa.cuaed.unam.mx/repositorio/moodle/pluginfile.php/2603/mod_resource/content/1/UAPA-Regla-Cramer/index.html

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/sistemas/regla-de-cramer.html