Clase 7 - Algebra de matrices

noviembre 16, 2024

Algebra de matrices

En la clase anterior, aprendí sobre el algebra de las matrices, como sumar matrices, al sumar las matrices deben de ser de las mismas dimensiones, también aprendí a restar matrices, en cuanto a las restas aprendí que para restar dos matrices se realiza A + B = A + (-B).

Para multiplicar matrices se debe de cumplir que la filas de una sean iguales a las columnas de la otra.

Investigación:

Suma:

Para poder sumar dos matrices, es necesario que ambas tengan las mismas dimensiones, el mismo número de filas y el mismo número de columnas.

La operación se define de una manera muy sencilla: la matriz suma de dos matrices con la misma dimensión es la matriz que tiene en la posición fila i y columna j la suma de los elementos de la misma posición en las matrices que sumamos. Es decir, la suma de matrices se calcula sumando los elementos que ocupan la misma posición.

Resta:

Para que la resta exista las matrices deben ser del mismo orden mxn. Entonces, la definición de la resta de matrices es la siguiente:

Sean dos matrices A y B, ambas de orden mxn, la resta definida como A-B es una matriz C de orden mxn cuyos elementos se definen por:

$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$

para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.

Alternativamente, podemos escribir:

$C=A-B=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \ldots & a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \ldots & a_{2n}-b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \ldots & a_{mn}-b_{mn} \end{bmatrix}$

Ejemplo:

Sean las matrices A y B:

$A=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ -1 & -5\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 6 & -3\end{bmatrix}$

Entonces, tenemos que:

$A-B=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ -1 & -5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 6 & -3\end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 2-1 & 3-2\\ -1-6 & -5-(-3)\end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -7 & -2\end{bmatrix}$

La matriz C es la siguiente:

$C=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -7 & -2\end{bmatrix}$

Multiplicación:

Para calcular una multiplicación de matrices se deben multiplicar las filas de la matriz de la izquierda por las columnas de la matriz de la derecha.

primero tenemos que multiplicar la primera fila por la primera columna. Para ello, multiplicamos uno a uno cada elemento de la primera fila por cada elemento de la primera columna, y sumamos los resultados. De manera que todo esto será el primer elemento de la primera fila de la matriz resultante. Fíjate en el procedimiento:

como resolver una multiplicacion de matrices 2x2 , operaciones con matrices

1⋅3 + 2⋅4 = 3 + 8 = 11. Por tanto:

resolver una multiplicación de matrices 2x2

Ahora nos toca multiplicar la primera fila por la segunda columna. Así que repetimos el procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la primera fila por cada elemento de la segunda columna, y sumamos los resultados. Y todo esto será el segundo elemento de la primera fila de la matriz resultante:

cómo hacer una multiplicación de matrices de dimensión 2

1⋅5 + 2⋅1 = 5 + 2 = 7. Por tanto:

procedimiento de cómo multiplicar dos matrices de orden 2

Una vez tenemos la primera fila de la matriz resultante llena, pasamos a la segunda fila. Así que multiplicamos la segunda fila por la primera columna repitiendo el procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la segunda fila por cada elemento de la primera columna, y sumamos los resultados:

-3⋅3 + 0⋅4 = -9 + 0 = -9. Por tanto:

Por último, multiplicamos la segunda fila por la segunda columna. Siempre con el mismo procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la segunda fila por cada elemento de la segunda columna, y sumamos los resultados: