Clases 1 y 2: Teorema de los limites

enero 24, 2025

Limites

En las dos clases pasadas aprendimos lo que son los límites y sus soluciones, vimos los 6 teoremas para la solución de los límites. Aprendí que lo que se busca es el valor de y cuando tenemos el valor de x.

También aprendí que cuando un límite da como resultado 0/0 quiere decir que el límite es indeterminado y se debe de buscar solucionarlo mediante otro método, uno de ellos es por factorización siempre y cuando x sea de segundo grado, en caso de tengamos raíces cuadradas se debe de solucionar por racionalización.

Investigación

Método de sustitución directa

Simplemente poner el valor del límite en la función y observar si ayuda a encontrar el límite es el primer método para calcular el límite de la función. La sustitución directa se puede utilizar para encontrar el límite de la función continua.

Este método es muy útil para el cálculo del límite de la función. Por ejemplo:

$Limite de 2h^4+5h^3-7h+4 cuando h tiende a a$

La función en el ejemplo anterior se puede calcular usando este método para obtener los límites de las funciones.

Resolver $Limite de (2h^3-3h^2+3h-5) cuando h tiende a 2$

SOLUCIÓN:

Paso 1: La función dada es:

$Limite de (2h^3-3h^2+3h-5) cuando h tiende a 2$

Paso 2: Coloque el valor del límite en la función, es decir, mediante sustitución directa.

$= [2(2)^{3} - 3(2)^{2} + 3(2) - 5]$

$= [2(8) - 3(4) + 6 - 5]$

$= (16 - 12 + 6 - 5) = 5.$

Método de factorización

La factorización es un método importante y se emplea en cálculo para factorizar expresiones en el numerador y denominador de la función. Nos permite identificar un factor común entre el numerador y los denominadores, y resultados de cancelación matemática para ambos.

Posteriormente, el método de sustitución directa simplifica el cálculo del límite de la función.

$Limite de [(h^2-3h+2)/(h^2-5h+4)] cuando h tiende a 1$

SOLUCIÓN:

Paso 1: La función dada es:

$Limite de [(h^2-3h+2)/(h^2-5h+4)] cuando h tiende a 1$

Al colocar el valor del límite, el límite de la función es indeterminado.

Paso 2: factorizar las expresiones en el denominador y numerador para obtener la función en forma simple.

$=[\lim_{h \to 1} \left ( h^2-2h-h+2 \right )/\left ( h^2-4h-h+4 \right )]$

$=[\lim_{h \to 1} \left ( h(h-2)-1(h-2) \right )/\left ( h(h-4)-1(h-4) \right )]$

$=[\lim_{h \to 1} (h-2)(h-1)/(h-4)(h-1)]$

Paso 3: Cancele los mismos factores y obtendremos la expresión en forma simple.

$=[\lim_{h \to 1} (h-2)(h-1)/(h-4)(h-1)]$

$=[\lim_{h \to 1} (h-2)/(h-4)]$

Paso 4: Coloque el valor límite para determinar la respuesta exacta.

$=[\lim_{h \to 1} (h-2)/(h-4)]$

$=(1-2)/(1-4)$

$Limite de [(h^2-3h+2)/(h^2-5h+4)] cuando h tiende a 1 es 1/3$

Método irracional

En determinados casos en el estudio de las matemáticas, las funciones se forman mediante expresiones de forma irracional. A veces, los límites de estas funciones siguen siendo inciertos principalmente porque están involucrados símbolos o expresiones radicales.

$Limite de [(sqrt{h}-sqrt{6})/(h-6)] cuando h tiende a 6$

SOLUCIÓN:

Paso 1: La función dada es:

$Limite de [(sqrt{h}-sqrt{6})/(h-6)] cuando h tiende a 6$

Paso 2: Ahora racionaliza el numerador de la función dada tomando su conjugado.

$Limite de [(sqrt{h}-sqrt{6})/(h-6)*1] cuando h tiende a 6$

$=\lim_{h \to 6} \left [ \left ( \sqrt{h}-\sqrt{6} \right )/\left ( h-6 \right ) * \left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right )/\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ]$

$=\lim_{h \to 6} \left [ \left ( \sqrt{h}-\sqrt{6} \right )*\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ]/\left [ \left ( h-6 \right )*\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ]$

$=\lim_{h \to 6} \left [ \left ( \sqrt{h} \right )^2-\left ( \sqrt{6} \right )^2 \right ]/\left [ \left ( h-6 \right )*\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ]$

$\begin{align} &=\lim_{h \to 6} \left [ \left ( h-6 \right )/\left ( h-6 \right )*\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ] \\ &=\lim_{h \to 6} \left [ 1/\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ] \\ &=\left [ 1/\left ( \sqrt{6}+\sqrt{6} \right ) \right ] \\ &=\left ( 1/2\sqrt{6} \right ) \end{}$