Derivadas implícitas
Derivadas implícitas
En la clase pasada aprendimos lo que es la derivada implícita, vimos como encontrar el valor de y cuando se tienen expresiones algebraicas en ambos lados de la igualdad en una función.
Investigación:
Las derivadas implícitas son herramientas que se utilizan en una técnica de diferenciación aplicada a funciones. Se aplican cuando no es posible, bajo métodos regulares, realizar el despeje de la variable dependiente que se quiere derivar. Este despeje se hace en función de la variable independiente.
Para resolver una derivada implícita, se parte de una expresión implícita. Por
ejemplo: 3xy3 – 2y + xy2 – xy = 0. Esta ya se ha despejado correctamente, sin embargo, hacerlo no es una condición necesaria para obtener la derivada de y respecto a x. Después, se derivan cada uno de los elementos, respetando la regla de la cadena para funciones mixtas:
3xy3 se compone por 2 variables, por lo tanto, d(3xy3) se tratará como la derivada de un producto de funciones.
d(3xy3)/dx = 3y3 + 3y2.(3x) y’ = 3y3 + 9xy2 y’
Donde el elemento y’ se conoce como “y prima” y representa dy/dx
-2y Se deriva según la ley K.U = K.U’
d(-2y) = -2 y’
xy2 supone otro diferencial compuesto por un producto de funciones
d(xy2) = y2 + 2xy y’
-xy se trata de forma homóloga
d(-xy) = -y – x y’
Se sustituyen en la igualdad, conociendo que la derivada de cero es cero.
3y3 + 9xy2 y’ – 2 y’ + y2 + 2xy y’ – y – x y’ = 0
Se agrupan en un lado de la igualdad los elementos que poseen el término y’
3y3 + y2 – y = -9xy2 y’ + 2 y’ + x y’
Se extrae el factor común y’ en el miembro derecho de la igualdad
3y3 + y2 – y = y’ (-9xy2 + x + 2)
Por último, se despeja el término que multiplica a y’. Obteniéndose así la expresión correspondiente a la derivada implícita de y respecto a x.
y’ = dy/dx = (3y3 + y2 – y)/(-9xy2 + x + 2)
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