Aproximaciones y errores

mayo 30, 2025

Aprendido en clase:

En la última clase aprendimos lo que es un error por redondeo y por truncamiento, vimos como el truncar dígitos puede afectar considerablemente el resultado de un proyecto causando graves consecuencias.

También vimos lo que son las cifras significativas y cuáles son las condiciones que se deben cumplir para saber cuáles dígitos se deben de considerar en la cifra significativa, así como la diferencia entre exactitud y precisión.

Investigación:

En métodos numéricos, las aproximaciones y los errores son conceptos fundamentales y están intrínsecamente relacionados. Dado que muchos problemas matemáticos no tienen una solución analítica exacta o son demasiado complejos para calcularlos de forma precisa, los métodos numéricos buscan encontrar soluciones aproximadas que sean lo suficientemente cercanas al valor verdadero.

Una aproximación es un valor que está cerca de un valor real o verdadero, pero no es idéntico a él. En el contexto de los métodos numéricos, las aproximaciones se utilizan para:

Simplificar problemas complejos: Transformar problemas matemáticos complejos en un formato más sencillo que puede resolverse mediante operaciones aritméticas básicas.
Resolver problemas sin solución analítica: Abordar problemas que no pueden resolverse con fórmulas exactas, como integrales no elementales o ecuaciones diferenciales complejas.
Manejar datos incompletos o imprecisos: Trabajar con mediciones que inherentemente contienen cierto grado de incertidumbre.

Errores en Métodos Numéricos

El error es la diferencia entre el valor aproximado y el valor verdadero. Dado que los métodos numéricos trabajan con aproximaciones, la presencia de errores es inevitable. El objetivo no es eliminar los errores por completo, sino entender su naturaleza, cuantificarlos y minimizarlos dentro de límites aceptables.

Existen varios tipos de errores en los métodos numéricos:

1. Error Verdadero

Es la diferencia exacta entre el valor verdadero ( $x_{v}$ ) y el valor aproximado ( $x_{a}$ ): $E_{t} = x_{v} - x_{a}$

2. Error Absoluto

Es el valor absoluto del error verdadero: $E_{a} = ∣ x_{v} - x_{a} ∣$ Este error indica la magnitud de la discrepancia, pero no considera el tamaño del valor real.

3. Error Relativo

Es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero (cuando el valor verdadero es diferente de cero): $E_{r} = \frac{∣ x _{v} - x _{a} ∣}{∣ x _{v} ∣}$ Este error es más útil para evaluar la calidad de la aproximación, ya que considera la magnitud del valor que se está aproximando. Generalmente se expresa como porcentaje.

4. Error de Truncamiento

Surge cuando se utilizan aproximaciones para representar procedimientos matemáticos exactos. Por ejemplo, al truncar una serie infinita a un número finito de términos (como en el cálculo de $sin (x)$ con la serie de Taylor) o al discretizar una derivada continua. Este error puede reducirse usando más términos o pasos más pequeños.

5. Error de Redondeo

Se produce debido a la limitación en la representación de números en una computadora. Las computadoras almacenan números con una cantidad finita de dígitos (cifras significativas). Cuando un número real requiere una cantidad infinita de dígitos (como $π$ o $2$ ), la computadora debe redondear o truncar los dígitos, lo que introduce un pequeño error. Este error es más notable en cálculos con muchos pasos o con números muy grandes o muy pequeños.

6. Error de Propagación

Ocurre cuando los errores iniciales (de redondeo o truncamiento) se acumulan y se amplifican a medida que un algoritmo numérico realiza múltiples operaciones. Un pequeño error en una etapa puede crecer significativamente en etapas posteriores, especialmente en problemas "mal condicionados".

7. Errores de Planteamiento (o Modelo)

Provienen de las simplificaciones o suposiciones que se hacen al modelar un problema físico o del mundo real mediante ecuaciones matemáticas. Estos errores no son inherentemente numéricos, pero afectan la exactitud de la solución obtenida.