METODO DE BISECCION
Método de bisección
En las clases pasadas aprendimos que para obtener una aproximación a la raíz de una ecuación podemos utilizar el método grafico que consiste en graficar la función para poder observar en donde cruza el eje X.
También aprendimos sobre el método de bisección, así como los pasos para desarrollarlo, vimos que como primer paso se debe de confirmar la continuidad de la función f（x） en un intervalo [a,b] y que f(a)*f(b) < 0, como paso 2 se debe de calcular el punto medio del intervalo [a,b].
En el paso 3 se deben de considerar las siguientes condiciones:
a) Si f(x) es igual a 0 se ha encontrado la solución
b) Si f(x) tiene signo opuesto a f(a) se refiere al intervalo como [a,x]
c) Si f(x) tiene signo opuesto a f(b) se define el intervalo como [x,b]
Al nuevo intervalo se le aplica el procedimiento hasta aproximarse a 0 según el margen de error requerido.
Investigación:
¿Qué es el método de bisección?
El método de bisección es una de las soluciones numéricas básicas para hallar la raíz de una ecuación polinómica. Encierra entre paréntesis el intervalo en el que se encuentra la raíz de la ecuación y lo subdivide en mitades en cada iteración hasta encontrar la raíz. Por ello, el método de bisección también se denomina método de entre paréntesis.
La raíz de una ecuación significa el valor de la variable independiente que satisface la ecuación. Por ejemplo: la raíz de una ecuación f(x)= 4-x2 = 0 es 2 porque f(2) = 4-22 = 0.
Consideremos f(x) como una función continua real. Según el teorema del valor intermedio, la ecuación f(x)=0 tiene al menos una raíz entre a y b si f(a)f(b) < 0. La función f(x) tiene una raíz, "c", entre A y B.
Ejemplo del método de bisección
Paso 1) Asumamos,
a = -10,
b = 10, y
e = 1% o 0.01
Paso 2) Ahora comprobaremos si f(a)f(b) >= 0 o no.
f(a) = f(-10) = (-10)3 – (-10)2 + 2 = -1098
f(b) = f(10) = (10)3 – (10)2 + 2 = 902
f(a)f(b) = f(-10)f(10) = (-1098)(902) < 0
Por tanto, la raíz de la función anterior se encuentra en este intervalo [-10, 10].
Paso 3) Entonces se calculará primero el punto medio c.
Ahora es necesario comprobar las siguientes condiciones:
(i) si f(c) = 0:
f(c) = f(0) = (0)3 – (0)2 + 2 = 2 ≠ 0
(ii) si f(a)f(c) < 0:
f(c)f(a) = 2*(-1098) < 0
La condición se cumple. Para la próxima iteración, los valores serán,
una = una = -10
segundo = c = 0
Paso 4) Como (b-a) = (0-(-10)) = 10>0.05, se repetirá el proceso. Las siguientes iteraciones se muestran en la tabla.
| Iteración | a | b | c | licenciado en Letras | f(c) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | -10 | 0 | 0 | 10 | 2 |
| 2 | -5 | 0 | -5 | 5 | -148 |
| 3 | -2.5 | 0 | -2.5 | 2.5 | -19.875 |
| 4 | -1.25 | 0 | -1.25 | 1.25 | -1.52562 |
| 5 | -1.25 | -0.625 | -0.625 | 0.625 | 1.36523 |
| 6 | -1.25 | -0.9375 | -0.9375 | 0.3125 | 0.297119 |
| 7 | -1.09375 | -0.9375 | -1.09375 | 0.15625 | -0.50473 |
| 8 | -1.01562 | -0.9375 | -1.01562 | 0.078125 | -0.0791054 |
| 9 | -1.01562 | -0.976562 | -0.976562 | 0.0390625 | 0.115003 |
| 10 | -1.01562 | -0.996094 | -0.996094 | 0.0195312 | 0.0194703 |
| 11 | -1.00586 | -0.996094 | -1.00586 | 0.00976562 | -0.0294344 |
Paso 5) En la undécima iteración, la condición del paso 11 será falsa. Por tanto, la raíz de esta ecuación es -4.
Video:
Ref.
Método de bisección: qué es, algoritmo y ejemplo
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