Matriz inversa a partir de la adjunta

 Matriz inversa a partir de la adjunta

En la clase pasada vimos lo que es una matriz adjunta y cual es método para solucionarlas, aprendimos que primero se debe de calcular la matriz adjunta y el determinante de la matriz para después sacar la transpuesta, una vez que tenemos esos pasos, para obtener la matriz inversa se divide cada número por el determinante de la matriz y el resultado es la matriz inversa. 

La fórmula general para la matriz inversa (A−1) de una matriz A es:

$$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\cdot \text{adj}(A)$$

Donde:

• det(A) es el determinante de la matriz A.

• adj(A) es la matriz adjunta de A.

Vamos a desglosar los pasos para obtenerla:

Pasos para calcular la matriz inversa por el método de la adjunta:

1. Calcular el determinante de la matriz $A$ ($\det (A)$):

   • Este es el primer paso y el más crucial. Si $\det (A)=0$, la matriz no tiene inversa (es una matriz singular), y no se puede continuar con este método.

2. Calcular la matriz de cofactores de $A$ ($C_{ij}$):

   • Para cada elemento aij​ de la matriz A, calculamos su cofactor Cij​.

   • El cofactor Cij​ se calcula como: $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ij}$

     • Mij​ es el menor del elemento aij​, que es el determinante de la submatriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A.

     • El término (−1)i+j determina el signo del cofactor, alternando entre positivo y negativo como un tablero de ajedrez comenzando con '+' en la posición (1,1)

3. Calcular la matriz adjunta de $A$ ($\text{adj}(A)$):

   • La matriz adjunta de A es la transpuesta de la matriz de cofactores.

   • Si C es la matriz de cofactores, entonces $\text{adj}(A)=C^T$.

   • Esto significa que los elementos de la fila i de la matriz de cofactores se convierten en los elementos de la columna i en la matriz adjunta.

4. Multiplicar la adjunta por el inverso del determinante:

   • Finalmente, multiplicamos cada elemento de la matriz adjunta por det(A)1​.

   • $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\cdot \text{adj}(A)$

 Ejemplo para una matriz $3\times 3$:

Sea la matriz A=​

1. Calcular el determinante de $A$: (Usando la regla de Sarrus o expansión por cofactores) $\det (A)=1(1\cdot 0-4\cdot 6)-2(0\cdot 0-4\cdot 5)+3(0\cdot 6-1\cdot 5)$ $\det (A)=1(0-24)-2(0-20)+3(0-5)$ $\det (A)=-24-2(-20)+3(-5)$ $\det (A)=-24+40-15$ $\det (A)=16-15=1$ Como $\det (A)=1\ne 0$, la inversa existe.

2. Calcular la matriz de cofactores $C$:

   • $C_{11}=(1\cdot 0-4\cdot 6)=-24$

   • $C_{12}=-(0\cdot 0-4\cdot 5)=-(-20)=20$

   • $C_{13}=(0\cdot 6-1\cdot 5)=-5$

   • $C_{21}=-(2\cdot 0-3\cdot 6)=-(-18)=18$

   • $C_{22}=(1\cdot 0-3\cdot 5)=-15$

   • $C_{23}=-(1\cdot 6-2\cdot 5)=-(6-10)=-(-4)=4$

   • $C_{31}=(2\cdot 4-3\cdot 1)=(8-3)=5$

   • $C_{32}=-(1\cdot 4-3\cdot 0)=-(4-0)=-4$

   • $C_{33}=(1\cdot 1-2\cdot 0)=(1-0)=1$

   Matriz de cofactores: C=​

   ​​

3. Calcular la matriz adjunta ($\text{adj}(A)$): Transponemos la matriz de cofactores:

    

4. Calcular la matriz inversa (A−1):

 

video

Referencias

https://www.google.com/search?q=https://www.vitutor.com/algebra/matrices/matriz_inversa.html

https://www.google.com/search?q=https://www.matesfacil.com/ESO/matrices/resueltos-matrices-inversa-adjunta.html