Método abierto - Newton Raphson

 Método abierto - Newton Raphson

En la clase pasada aprendimos lo que es el método de Newton-Raphson, y como desarrollarlo para encontrar la raíz de una ecuación, también aprendimos como formularlo en Excel.

El método de Newton-Raphson se basa en la idea de que una función continua y diferenciable puede ser aproximada por una línea recta tangente a ella en un punto.

1. Punto de partida: Se elige un valor inicial, una "suposición" inicial para la raíz, digamos x0​.

2. Trazar la tangente: En el punto (x0​,f(x0​)) de la gráfica de la función, se traza la línea tangente a la curva.

3. Nueva aproximación: La intersección de esta línea tangente con el eje x (es decir, el punto donde la tangente es igual a cero) se toma como una nueva y, se espera, mejor aproximación a la raíz, llamémosla x1​.

4. Repetición: Este proceso se repite. En cada paso, se traza una nueva tangente en el punto (xn​,f(xn​)) y se encuentra su intersección con el eje x para obtener la siguiente aproximación xn+1​.

La fórmula matemática:

La ecuación de la línea tangente a una función f(x) en un punto (xn​,f(xn​)) viene dada por:

$y-f(x_n)=f^{\prime }(x_n)(x-x_n)$

Para encontrar la intersección con el eje x, hacemos $y=0$:

$0-f(x_n)=f^{\prime }(x_n)(x_{n+1}-x_n)$

Despejando xn+1​ (la nueva aproximación):

$-f(x_n)=f^{\prime }(x_n)(x_{n+1}-x_n)$ $\frac{-f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}=x_{n+1}-x_n$ $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$

Esta es la fórmula iterativa del Método de Newton-Raphson.

Pasos para aplicar el método:

1. Define la función: Asegúrate de que la ecuación esté en la forma $f(x)=0$.

2. Encuentra la derivada: Calcula la primera derivada de la función, f′(x).

3. Elige una aproximación inicial: Selecciona un valor x0​ cercano a la raíz (una buena estimación inicial es crucial para la convergencia).

4. Itera: Utiliza la fórmula $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$ repetidamente.

5. Criterio de parada: Detén las iteraciones cuando se cumpla un criterio de convergencia, como:

• $|f(x_n)|<\text{tolerancia}$ (el valor de la función es muy cercano a cero).

• $|x_{n+1}-x_n|<\text{tolerancia}$ (el cambio entre aproximaciones sucesivas es muy pequeño).

• Se ha alcanzado un número máximo de iteraciones.

Queremos encontrar la raíz cuadrada de 2, es decir, la raíz de la ecuación $x^2-2=0$. Aquí, $f(x)=x^2-2$ y $f^{\prime }(x)=2x$.

La fórmula de Newton-Raphson es: $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}$

Si tomamos una aproximación inicial $x_0=2$:

• $x_1=2-\frac{2^2-2}{2(2)}=2-\frac{2}{4}=2-0.5=1.5$

• $x_2=1.5-\frac{1.5^2-2}{2(1.5)}=1.5-\frac{2.25-2}{3}=1.5-\frac{0.25}{3}\approx 1.5-0.0833=1.4167$

• $x_3=1.4167-\frac{1.4167^2-2}{2(1.4167)}\approx 1.4167-\frac{2.0070-2}{2.8334}\approx 1.4167-\frac{0.0070}{2.8334}\approx 1.4167-0.00247\approx 1.41423$

Como puedes ver, las aproximaciones se acercan rápidamente al valor real de $\sqrt{2}\approx 1.41421356$.

Ref.

https://estadistica-dma.ulpgc.es/FCC/05-3-Raices-de-Ecuaciones-2.html

https://rpubs.com/Jaimemosg/431885

http://www.objetos.unam.mx/matematicas/matema/Daplica/da_aplicacion08_d.html

https://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/newton-raphson-concepto/