Solución de ecuaciones lineales a partir de la matriz inversa

                                Solución de ecuaciones lineales a partir de la matriz inversa

En la clase pasada aprendimos a solucionar ecuaciones lineales mediante la matriz inversa, utilizamos lo aprendido en las clases pasadas como el calcular la determinante de una matriz y que si el determinante de una matriz es = 0 se debe de buscar la solución mediante el método de Gauss, en caso contrario se puede solucionar mediante la matriz inversa, para esto se debe de calcular la matriz adjunta para después hacer la matriz transpuesta de la adjunta, el siguiente paso es dividir cada resultado por el determinante, por último, se multiplica cada fila por B para obtener la solución.

Investigación:  

 Proceso de Resolución Paso a Paso

1. Representación Matricial: Cómo transformar el sistema de ecuaciones en la forma $AX=B$.

   • Identificación de la matriz de coeficientes ($A$).

   • Identificación de la matriz de variables ($X$).

   • Identificación de la matriz de términos independientes ($B$).

2. Cálculo de la Matriz Inversa ($A^{-1}$):

   • Verificar si el determinante de A es diferente de cero. Si es cero, el sistema no tiene solución única por este método.

   • Aplicar el método elegido (adjunta/determinante o Gauss-Jordan) para calcular A−1.

3. Multiplicación Matricial: Realizar el producto A−1B para obtener la matriz de variables X.

4. Interpretación de la Solución: Extraer los valores de las variables (x,y,z, etc.) a partir de la matriz X.

Ejemplo:

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

 

Paso 1: Representar el sistema en forma matricial $AX=B$

• Matriz de coeficientes ($A$):

Matriz de términos independientes (B):

 

Así, tenemos:

Paso 2: Calcular el determinante de $A$

Usando la regla de Sarrus o expansión por cofactores:

Paso 3: Calcular la matriz de cofactores $C$

Para cada elemento aij​, su cofactor Cij​ es (−1)i+j por el determinante de la submatriz que queda al eliminar la fila i y columna j.

La matriz de cofactores es:

aso 4: Calcular la adjunta de $A$ ($\text{adj}(A)=C^T$)

Transponemos la matriz de cofactores:

Paso 5: Calcular la matriz inversa A−1

Paso 6: Calcular $X=A^{-1}B$

Realizamos la multiplicación de matrices:

• Para x: $(1/4)(1)+(5/12)(3)+(-1/12)(0)=1/4+15/12+0=3/12+15/12=18/12=3/2$

• Para y: $(1/4)(1)+(-1/4)(3)+(1/4)(0)=1/4-3/4+0=-2/4=-1/2$

• Para z: $(-1/4)(1)+(-1/12)(3)+(5/12)(0)=-1/4-3/12+0=-3/12-3/12=-6/12=-1/2$

Entonces:

Paso 7: Interpretar la solución

Video:

referencias:

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:matrices/x9e81a4f98389efdf:solving-equations-with-inverse-matrices/v/solving-matrix-equation

https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/9-7-resolver-sistemas-con-inversas
Matriz inversa método del adjunto - cofactores | Ejemplo 1